Cas des variables aléatoires continues

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires continues, alors la variable aléatoire $Z=X+Y$ est aussi continue. Si le couple $(X,\ Y)$ admet la densité $f_{X,Y}$, alors la densité $f$ de $Z$ vérifie :

$$\forall z \in \mathbb{R},\ f(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_{X,\ Y} (x,\ z-x)\ dx$$

Si $X$ et $Y$ sont indépendantes et admettent des densités $f_X$ et $f_Y$, alors leur somme $Z$ admet pour densité $f$ telle que :

$$\forall z \in \mathbb{R},\ f(z) = \underbrace{\int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x) f_Y(z-x) dx } _{\text{produit de convolution de $f_X$\ et $f_Y$\ pris en $z$}}$$

$$= \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(z-y) f_Y(y) dy$$

Le produit de convolution peut être noté $f_X * f_Y$, et est commutatif.