Cas des variables aléatoires discrètes

Si $X$ et $Y$ sont des variables aléatoires discrètes, alors $Z=X+Y$ est aussi une variable aléatoire discrète.
Dans le cas général, on a :

$$\forall z \in Z(\Omega),\ P(Z=z) = P(X+Y=z)$$

$$= \hspace{-1cm} \sum_{(x,\ y) \in X(\Omega) \times Y(\Omega) / x+y=z} \hspace{-1cm} P(X=x \cap Y=y)$$

$$= \sum_{x \in X(\Omega)} P(X=x \cap Y=z-x)$$

Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, alors :

$$P(Z=z) = \sum_{x \in X(\Omega)} [P(X=x)\ P(Y=z-x)]$$