Définitions

$f ~: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ est une densité de probabilité si :

• $f(x,\ y)$ est à valeurs positives ;
• $\int \int_{\mathbb{R}^2} f(x,\ y)\ dx\ dy$ est définie et vaut 1.

Si le couple $(X,\ Y)$ admet la fonction $f(x,\ y)$ comme densité de probabilité, alors la fonction de répartition vaut :

$$F(x,\ y)=P(X \leq x \cap Y \leq y) = \int_{-\infty}^{x} \int_{-\infty}^{y} f(t,\ u)\ dt\ du$$

On en déduit aisément

$$f(x,\ y)=\frac{\partial^2 F(x,\ y)}{\partial x \ \partial y}$$