Matrice des variances-covariances

Soir $V$ un vecteur aléatoire formé de variables aléatoires admettant des moments d'ordre 2 :

$$V = \left( \begin{array}{c} X_1 \\ \vdots \\ X_i \\ \vdots \\ X_n \end{array} \right)$$

et

$$E(V) = \left( \begin{array}{c} E(X_1) \\ \vdots \\ E(X_i) \\ \vdots \\ E(X_n) \end{array} \right)$$

On peut alors définir $\Sigma$, la matrice des variances-covariance par :

$$\boxed{\Sigma = E \left[ (V-E(V)) (V-E(V))^{\top} \right]}$$

$$\tiny { \Sigma = \left( \begin{array}{lllll} E[(X_1-E(X_1))(... ...X_i))] & & E[(X_n-E(X_n))(X_n-E(X_n))] \\ \end{array}\right)}$$

$\Sigma$ est donc une matrice carrée, symétrique par rapport à sa diagonale principale. La diagonale principale contient les éléments $V(X_i)$, tandis que les éléments extradiagonaux sont les covariances. On peut démontrer selon le même principe que pour la somme de deux variables aléatoires (voir somme_cov) :

$$V(X_1+\dots +X_n) = \sum_{i=1}^{n}V(X_i) + 2 \sum_{1 \leq i < j \leq n} cov(X_i,\ X_j)$$