Propriétés

$\displaystyle \boxed{cov(X,\ Y) = E(XY)-E(X)\ E(Y)}$

En effet :

$\displaystyle E \left\{ \left[X-E(X)\right]\left[Y-E(Y)\right] \right\}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle E \left[ XY -E(X)\ Y - E(Y)\ X + E(X)\ E(Y) \right]$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle E(XY)-E(X)\ E(Y)$

Il en découle que :

$\displaystyle cov(X,\ Y)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle cov (Y,\ X)$
$\displaystyle cov(X,\ X)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle V(X)$
$\displaystyle cov(aX+b,\ cY+d)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle a\, c\ cov(X,\ Y)$
$\displaystyle V(X+Y)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle V(X)+V(Y)+2cov(X,\ Y)$

sont indépendantes, alors $cov(X,\ Y) = 0$ .
Attention : La réciproque n'est pas vraie !

Inégalité de Cauchy-Schwartz :
Si

sont deux variables aléatoires admettant des moments d'ordre 2, alors :

$\displaystyle E(\vert XY\vert) \leq \sqrt{E(X^2)} \sqrt{E(Y^2)}$

Démonstration :
Démontrons tout d'abord l'existence de $E(\vert XY\vert)$ . Autrement dit, $\vert XY\vert$ admet t'elle un moment d'ordre 1 ?

$\displaystyle \frac{1}{2} \left( \vert X\vert-\vert Y\vert \right)^2 \geq 0$	$\displaystyle \Leftrightarrow$	$\displaystyle \frac{\vert X\vert^2}{2}-\vert X\vert\vert Y\vert+ \frac{\vert Y\vert^2}{2}\geq 0$
	$\displaystyle \Leftrightarrow$	$\displaystyle \frac{\vert X\vert^2}{2}+ \frac{\vert Y\vert^2}{2} \geq \vert X\vert\vert Y\vert$
	$\displaystyle \Leftrightarrow$	$\displaystyle \frac{X^2}{2}+ \frac{Y^2}{2} \geq \vert XY\vert$

Or par hypothèse,

admettent des moments d'ordre 2, donc $\vert XY\vert$ admet un moment d'ordre 1.

Ensuite,

$\displaystyle \forall a \in \mathbb{R},\ (\vert X\vert+a\vert Y\vert)^2 \geq 0$	$\displaystyle \Rightarrow$	$\displaystyle E \left[ (\vert X\vert + a\vert Y\vert)^2 \right] \geq 0$
	$\displaystyle \Leftrightarrow$	$\displaystyle E(X^2) + 2\ a\ E(\vert XY\vert) + a^2\ E(Y^2) \geq 0$

On a donc un polynôme du second degré en . Son discriminant vaut $\Delta = 4(E(\vert XY\vert))^2 - 4 \left( E(X^2)E(Y^2) \right)$ . Or ce polynôme est toujours positif ou nul. Donc on a $\Delta \leq 0$ . Donc :

$\begin{displaymath} \begin{array}{lrll} & 4 \left[ (E(\vert XY\vert))^2 - E(X^2... ...\vert XY\vert) & \leq & \sqrt{E(X^2)} \sqrt{E(Y^2)} \end{array}\end{displaymath}$

admettent des moments d'ordre 2, alors :

$\displaystyle \vert cov(X, \ Y)\vert \leq \sqrt{V(X)} \sqrt{V(Y)}$

Démonstration :
On a pour toute variable aléatoire

, $\vert E(Q)\vert \leq E(\vert Q\vert)$ .
Donc

$\displaystyle \vert cov(X,\ Y)\vert \leq E(\vert(X-E(X))(Y-E(Y))\vert)$

En utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwartz (voir Cauchy), on obtient donc :

$\displaystyle \vert cov(X,\ Y)\vert$	$\displaystyle \leq$	$\displaystyle \sqrt{ E \left[ (X-E(X))^ 2 \right]} \sqrt {E \left[ (Y-E(Y))^ 2 \right]}$ donc
$\displaystyle \vert cov(X,\ Y)\vert$	$\displaystyle \leq$	$\displaystyle \sqrt{V(X)} \sqrt{V(Y)}$