Si $\varphi$ est dérivable, mais ne possède pas une unique fonction réciproque

Alors, il faut considérer séparément chacun des intervalles où $\varphi$ est une bijection puis effectuer une sommation afin de calculer la densité de $Y$.

Exemple

Soit $X=\mathscr{N}(0,\ 1)$ et $Y = X^2$. Ici, on a $\varphi\ :\ \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{+},\ x \mapsto x^2$. $\varphi$ est dérivable, mais ne possède pas une unique fonction réciproque. Par contre, $\varphi$ est une bijection de $]-\infty,\ 0[$ sur $]0,\ +\infty[$, et $\varphi$ est une bijection de $]0,\ +\infty[$ sur $]0,\ +\infty[$.

$Y$ prend ses valeurs dans $\mathbb{R}^{+}$.
On a, $\forall y \geq 0, \ \{ Y = y \}\ \Leftrightarrow \{ X = \sqrt{y}$    ou $X = - \sqrt{y} \}$

La densité $f$ de $X$ vaut :

$$\forall x \in \mathbb{R},\ f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp^{- \frac{x^2}{2}}$$

On note que $f$ est paire, c'est à dire que $f(x) = f(-x)$.

Donc, pour $x \in ]0,\ +\infty[$,

$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp^{- \frac{x^2}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp^{- \frac{y}{2}}$$    et $$\qquad \varphi ' (x) = 2 x = 2 \sqrt{y}$$

et de même pour $x \in ]-\infty,\ 0[$,

$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp^{- \frac{y}{2}}$$    et $$\qquad \varphi ' (x) = 2 x = - 2 \sqrt{y}$$

On en déduit donc la densité $g$ de $Y$ :

$$\begin{array}{llll} \forall y \in \mathbb{R}^{*+}, & g(y) & ... ...}} \\ \forall y \in \mathbb{R}^{-}, & g(y) & = & 0 \end{array}$$

$Y$ suit donc une loi $\chi^{2}_{1}$.