Cas des variables aléatoire discrètes

Dans le cas des variables aléatoires discrètes, si $X$ prend l'ensemble des valeurs $\{x_1, \dots,\ x_k,\dots\}$ et $Y$ l'ensemble des valeurs $\{y_1, \dots,\ y_j,\dots\}$,

$$\forall y_j \in (\varphi \circ X)(\Omega) ,\ P(Y=y_j) = \sum_{x_k / \varphi(x_k)=y_j} P(X=x_k)$$

$Y$ est donc elle-même une variable aléatoire discrète.

L'espérance de $Y$ vaut alors, sous réserve d'existence :

$$E(Y) = \sum_{k} \varphi(x_k) P(X=x_k)$$