Calcul des moments

Le moment d'ordre $k$, $m_k$ a pour expression :

$$\forall k \in \mathbb{N}^*,\ m_k=\int_0^{+\infty} \lambda \exp^{- \lambda x}\, x^k \, dx$$

$m_k$ est convergent. En effet :

$$x^k\, \exp^{- \lambda x}=\frac{x^k}{\exp^{\lambda x}}$$

Or,

$$exp^{\lambda x}=1+\frac{\lambda x}{1!}+\dots +\frac{(\lambda x)^{k+2}}{(k+2)!}+\dots$$

Donc

$$\forall k \in \mathbb{N}^{*},\ exp^{\lambda x} \geq \frac{(\lambda x)^{k+2}}{(k+2)!}$$

$$\frac{1}{exp^{\lambda x}} \leq \frac{(k+2)!}{(\lambda x)^{k+2}}$$

$$\frac{x^k}{exp^{\lambda x}} \leq \frac{(k+2)!}{\lambda ^{k+2}\, x^2}$$

$$\int_{1}^{+\infty} \lambda \exp^{- \lambda x}\, x^k \, dx \leq \frac{(k+2)!}{\lambda ^{k+2}} \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^2}dx$$

L'intégrale de droite est convergente, donc $m_k$ est convergent.

Calcul de $m_k$ :

$$\forall k \in \mathbb{N}^*,\ m_k = \int_{0}^{+\infty} \lambda \exp^{- \lambda x}\, x^k \, dx$$

$$= \left[ -x^k\, \exp^{-\lambda x} \right]_0^{+\infty} + \int_{0}^{+\infty} k\, x^{k-1}\, \exp^{-\lambda x}dx$$

$$= \frac{k}{\lambda} \, m_{k-1}$$

On a :

$$m_1 = \int_{0}^{+\infty} k\ \exp^{- \lambda x}\, x\, dx$$

$$= \left[-x \ \exp^{-\lambda x} \right]_0^{+\infty} + \int_{0}^{+\infty} \exp^{- \lambda x}\, dx$$

$$= \left[-\frac{1}{\lambda} \exp^{-\lambda x} \right]_0^{+\infty} =\frac{1}{\lambda}$$

On peut donc écrire :

$$m_1 = \frac{1}{\lambda}$$

$$\vdots = \vdots$$

$$m_{k-1} = \frac{k-1}{\lambda } \, m_{k-2}$$

$$m_{k} = \frac{k}{\lambda} \, m_{k-1}$$

En multipliant terme à terme, on obtient :

$$m_k = \frac{k!}{\lambda^k}$$

On a donc :

$$E(X) = m_1 = \frac{1}{\lambda}$$

$$V(X) = m_2 - {m_1}^2 = \frac{1}{\lambda^2}$$