Calcul des moments

Calculons le moment d'ordre $k$, $m_k$ :

$$\forall k \in \mathbb{N}^{*},\ m_k = \int_{-\infty}^{+\infty}x^k\ f(x)\ dx=\int_a^b \frac{x^k}{b-a}dx=\frac{1}{b-a}\left[ \frac{x^{k+1}}{k+1} \right]_a^b$$

$$= \frac{b^{k+1}-a^{k+1}}{(k+1)(b-a)}$$

On en déduit alors les moments d'ordre 1 et 2 :

$$m_1 = \frac{b^2-a^2}{2(b-a)}=\frac{a+b}{2}$$

$$m_2 = \frac{b^3-a^3}{3(b-a)}=\frac{a^2+ab+b^2}{3}$$

On a donc :

$$E(X) = m_1 = \frac{a+b}{2}$$

$$V(X) = m_2 - {m_1}^2 = \frac{(a-b)^2}{12}$$