Inégalité de Bienaymé-Tchebicheff

Soit $X$ une variable aléatoire, sous réserve que $X$ ait une variance, on a :

$$\boxed{\forall a \in \mathbb{R}^{*+},\ P\left(\vert X-E(X)\vert \geq a\right)\ \leq \ \frac{V(X)}{a^2}}$$

Démonstration dans le cas des variables aléatoires discrètes :

Soit $X$ une variable aléatoire discrète prenant les valeurs $\{x_1,\ x_2,\dots,\ x_i,\dots\}$

$$V(X) = E(\vert X-E(X)\vert^2) = \sum_{i}P(X=x_i)\ \vert x_i-E(X)\vert^2$$

$$\geq \sum_{i/\vert x_i-E(X)\vert^2 \geq a^2}P(X=x_i)\ \vert x_i-E(X)\vert^2$$

$$\geq \sum_{i/\vert x_i-E(X)\vert^2 \geq a^2}P(X=x_i)\ a^2$$

$$\geq a^2 \sum_{i/\vert x_i-E(X)\vert^2 \geq a^2}P(X=x_i)$$

$$\geq a^2\ P\left(\vert X-E(X)\vert^2 \geq a^2\right)$$

Donc :

$$P\left(\vert X-E(X)\vert^2 \geq a^2\right)\ \leq \ \frac{V(X)}{a^... ...ad \Leftrightarrow\ \qquad P(\vert X-E(X)\vert \geq a)\ \leq\ \frac{V(X)}{a^2}$$