Propriétés

La fonction génératrice caractérise la loi de $X$.
Plus précisément :

$$\forall n\in \mathbb{N}^*,\ P(X=n)=\frac{G_X^{(n)}(0)}{n!}$$

où $G_X^{(n)}(0)$ désigne la dérivée $n$-ième de $G_X$ en 0.

D'autre part :

$$E(X)=\sum_{k=0}^{+\infty}k\ P(X=k)= G'_{X}(1)$$