Définition

Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb{N}$, dont la loi est caractérisée par les nombres $p_n=P(X=n)$. La fonction génératrice de $X$ est la fonction $G_X~:[0,1]\rightarrow[0,1]$ définie par :

$$\boxed{\forall s \in [0,1],\ G_X(s)=E(s^X)=\sum_{n=0}^{+\infty} s^n\ P(X=n)}$$

$G_X(s)$ est monotone, croissante, bornée, continue et indéfiniment dérivable, telle que $G_X(s) \in [0,1]$, $G_X(0)=0$, et $G_X(1)=1$.