Propriétés

Si $X$ admet un moment d'ordre $k$, alors $\forall r \in \mathbb{N}^{*},\ r\leq k$, elle admet un moment d'ordre $r$.

L'espérance, notée aussi $m$, qui est le moment d'ordre 1, vérifie les propriétés suivantes :

$$E(aX+b) = a\ E(X) + b$$

$$E(X+Y) = E(X) + E(Y)$$

La variance $V(X)$, notée aussi $\sigma ^2$, est le moment centré d'ordre 2.

$$V(X) = \mu _2 = \sigma^2 = E\left[\left(X-E\left(X\right)\right)^2\right]$$

$$= E\left[X^2-2\ X\ E\left(X\right)+\left(E\left(X\right)\right)^2\right]$$

$$= E(X^2) - 2\ E(X)\ E(X) + \left(E\left(X\right)\right)^2$$

$$= E(X^2) - (E(X))^2$$

$$= m_2^{\phantom{2}1} - m_1^{\phantom{1}2}$$

Elle vérifie la propriété suivante :

$$V(aX+b) = a^2\ V(X)$$