Définitions

L'espace d'états est l'ensemble, habituellement noté $\Omega$, de tous les résultats possibles de l'expérience aléatoire que l'on réalise.

Un évènement est une propriété dont on peut dire si elle est vraie ou fausse après avoir réalisé l'expérience. Un évènement est donc une partie de $\Omega$. On note $\mathcal{A}$ l'ensemble de tous les évènements de $\Omega$. Le plus souvent, on a $\mathcal{A} = \mathcal{P}(\Omega)$.

A chaque évènement $A$, on associe un nombre, noté $P(A)$, et appelé ``probabilité de $A$''. Les probabilités vérifient les propriétés suivantes :

$$0 \leq P(A) \leq 1$$

$$P(\Omega) = 1$$

$$A \cap B = \emptyset,\ P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$

Un modèle probabiliste est donc un triplet $(\Omega,\ \mathcal{A},\ P)$ constitué de l'espace $\Omega$, de l'ensemble des évènements $\mathcal{A}$, et de la famille des $P(A)$ pour $A \in \mathcal{A}$.

Soit $E$ un intervalle de $\mathbb{R}$. On appelle variable aléatoire sur $(\Omega,\ \mathcal{A},\ P)$ à valeurs dans $E$ toute application $X$ de $\Omega$ dans $E$.

Notations :

Soit $A'\subset E,\ \{X\in A'\}=\{\omega \in \Omega,\ X(\omega)\in A'\}$. Cela signifie aussi que $X^{-1}(A')$ est un évènement de $\Omega$.

La probabilité de cet évènement est notée $P(X \in A')$.

Soit $P_{X}$ l'application de $\mathcal{P}(E)$ dans $[0,1]$ définie par $P_{X}(A')=P(X\in A')$.

$P_{X}$ est une loi de probabilité sur $E$, que l'on apelle loi de la variable aléatoire $X$.