Combinaisons avec répétitions

Il s'agit de dispositions non ordonnées de $p$ éléments pris parmi $n$, discernables, avec répétition éventuellement. Dans ce cas, on n'a donc pas obligatoirement $p\leq n$.

Considérons que l'on introduise des séparateurs entre $n$ éléments discernables :

$$\underbrace{a\ a\vert\vert c\ c\ c\vert d}_{ p\ \text{éléments pris parmi $n$\ discernables avec répétition}}$$

On a alors $n-1$ séparateurs. Toute combinaison revient alors à placer les $n-1$ séparateurs et les $p$ éléments dans un ordre donné.

Toute combinaison avec répétition est donc une permutation avec répétition des $n-1$ séparateurs et des $p$ éléments. Posons $m=(n-1)+p$.

$$\boxed{\forall (p,\ n) \in \mathbb{N}^{2},\ K_{n}^{p}= \mathscr{P}_{m}=\frac{m!}{p!(n-1)!}=\frac{(n+p-1)!}{p!(n+p-1-p)!}=C_{n+p-1}^{p}}$$