Permutations avec répétition

Il s'agit d'une disposition ordonnée de $n$ éléments partiellement discernables. Parmi les $n$ éléments, on trouve $\alpha$ éléments $a$, $\beta$ éléments $b$, $\dots$, $\sigma$ éléments $s$ :

$$\{(\underbrace{a,\ a,\dots,\ a}_{\alpha \text{ éléments}}),\ (\un... ...,\ s}_{\sigma \text{ éléments}})\}\text{ avec } n=\alpha +\beta +\dots +\sigma$$

Si tous les éléments étaient discernables, on aurait $n!$ permutations. Ici toutes permutations des $\alpha$ éléments $a$, des $\beta$ éléments $b$, $\dots$, des $\sigma$ éléments $s$ correspondent à la même permutation avec répétition.

On en déduit donc le nombre de permutations avec répétition :

$$\boxed{\forall n \in \mathbb{N},\ \mathscr{P}_{n}=\frac{n!}{\alpha !\beta !\dots \sigma !}}$$

Application :

$$(a+b+\dots +s)^{n}=\underbrace{(a+b+\dots +s)\ (a+b+\dots +s)\ \dots \ (a+b+\dots +s)}_{\text{$n$\ fois}}$$

Le développement est une somme de termes dont chacun est un produit de $n$ éléments comportant $\alpha\ a$, $\beta\ b$, $\dots$, $\sigma\ s$ tels que $n=\alpha +\beta +\dots +\sigma$.

Ainsi :

$$(a+b+\dots +s)^{n}=\sum_{\alpha +\beta +\dots +\sigma=n} \frac{n!}{\alpha !\beta !\dots \sigma!}\ a^{\alpha}b^{\beta}\dots s^{\sigma}$$

On peut en particulier en déduire le développement d'un binôme :

$$(a+b)^{n}=\sum_{r=0}^{n}\frac{n!}{r!(n-r)!}\ a^{r}\ b^{n-r}$$