Arrangements sans répétitions

Il s'agit d'une disposition ordonnée de p éléments pris parmi n, discernables, sans répétition.

On a donc :

• $n$ possibilités pour le $1^{er}$ élément ;
• $(n-1)$ possibilités pour le $2^{eme}$ élément ;
  $\vdots$
• $(n-i+1)$ possibilités pour le $i^{eme}$ élément ;
  $\vdots$
• $(n-p+1)$ possibilités pour le $p^{ieme}$ élément.

Au total, cela fait donc $n \ (n+1)\ \dots \ (n-p+1)$ possibilités.

$$\boxed{\forall (p,\ n) \in \mathbb{N}^{2},\ p \leq n,\ A_{n}^{p}=\frac{n!}{(n-p)!}}$$

Propriété :

$$A_{n}^{p}=A_{n-1}^{p}+p\ A_{n-1}^{p-1}$$

Démonstration (deux méthodes) :

1. Parmi les $A_{n}^{p}$ arrangements, il y a ceux qui contiennent un élément particulier $a$ et ceux qui ne le contiennent pas.
   • Pour ceux qui ne le contiennent pas, il y a $A_{n-1}^{p}$ possibilités : les $p$ éléments de l'arrangement sont pris parmi les $(n-1)$ éléments autres que $a$ ;
   • Pour ceux qui le contiennent, en plus de $a$, ils contiennent $(p-1)$ autre éléments, qui sont pris parmi les $(n-1)$ autres que $a$. Il y a $A_{n-1}^{p-1}$ arrangements de $(p-1)$ éléments ne contenant pas $a$. Pour chacun de ces arrangements, il y a ensuite $p$ positions possibles pour intercaller $a$. Donc il y a au total $p\ A_{n-1}^{p-1}$ arrangements de p éléments contenant $a$.
   Donc il y a au total $A_{n-1}^{p}+p\ A_{n-1}^{p-1}$ arrangements de $p$ éléments pris parmi $n$.
2. 
   

   $$A_{n}^{p} = \frac{n!}{(n-p)!}=\frac{(n-p+p)(n-1)!}{(n-p)!}$$

   $$\ = \frac{(n-p)(n-1)!}{(n-p)!}+p\frac{(n-1)!}{(n-p)!}=\frac{(n-1)!}{(n-1-p)!}+p\frac{(n-1)!}{((n-1)-(p-1))!}$$

   $$\ = A_{n-1}^{p}+p\ A_{n-1}^{p-1}$$